设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解(A是m×n矩阵),ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解,证明: (1)向量组η1,η1-η2线性无关; (2)若秩r(A)=n-1,则向量组ξ,
题目
设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解(A是m×n矩阵),ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解,证明:
(1)向量组η1,η1-η2线性无关;
(2)若秩r(A)=n-1,则向量组ξ,η1,η2线性相关.
答案
证明:(1)设k1η1+k2(η1-η2)=0,则
k1Aη1+k2A(η1-η2)=0
已知η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,因此
Aη1=Aη2=b
∴k1b=0
而b≠0
∴k1=0
∴k2(η1-η2)=0
又η1与η2是互不相同的,即η1-η2≠0
∴k2=0
∴向量组η1,η1-η2线性无关
(2)由秩r(A)=n-1,知Ax=0的基础解系只含有一个解向量
∴ξ是Ax=0的一个基础解系
又η1-η2是Ax=0的一个非零解
∴ξ、η1-η2线性相关,即存在数k,使得η1-η2=kξ
∴kξ+η1-η2=0
即向量组ξ,η1,η2线性相关
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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