已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3.
题目
已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3.
试求函数y=f(x)在[m,n](m、n∈Z,且mn<0)上的值域.
由函数y=f(x)是R上的单调减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数.
∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n).
∴f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)═nf(1).
同理,f(m)=mf(1).
∵f(3)=-3,∴f(3)=3f(1)=-3.
∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n.
因此,函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].
f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)═nf(1)
2f(1)+f(n-2)═nf(1)
是怎么回事?
答案
f(n)=f(1+n-1)=f(1)+f(n-1) =f(1)+f(1)+f(n-2) =f(1)+f(1)+f(1)+f(n-3) =…… =f(1)+f(1)+f(1)+.+f(1) n个f(1)相加. ...
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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