在对角线有相同长度d的所有矩形中. (1)怎样的矩形周长最长,求周长的最大值; (2)怎样的矩形面积最大,求面积的最大值.
题目
在对角线有相同长度d的所有矩形中.
(1)怎样的矩形周长最长,求周长的最大值;
(2)怎样的矩形面积最大,求面积的最大值.
答案
(1)设矩形的两邻边长分别为x,y,
由题意可得x
2+y
2=d
2,
∴矩形周长c=2(x+y),
∴c
2=4(x+y)
2=4(x
2+y
2+2xy)
≤4(x
2+y
2+x
2+y
2)=8d
2,
当且仅当x=y,即矩形为正方形时,c
2取到最大值8d
2,
周长取到最大值2
d;
(2)由(1)矩形面积S=xy=
•2xy≤
(x
2+y
2)=
当且仅当x=y,即矩形为正方形时,矩形面积的最大值
.
(1)设矩形的两邻边长分别为x,y,易得x
2+y
2=d
2,周长c=2(x+y),可得c
2=4(x+y)
2=4(x
2+y
2+2xy)≤4(x
2+y
2+x
2+y
2)=8d
2,开方可得答案;
(2)由(1)矩形面积S=xy=
•2xy≤
(x
2+y
2)=
,注意等号成立的条件即可.
基本不等式.
本题考查基本不等式求最值,涉及矩形的周长和面积,属基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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