设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以的概率允许或禁止汽车通过,以表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的）,求的分布律及数学期望

题目

设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以的概率允许或禁止汽车通过,以表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的）,求的分布律及数学期望

答案

设信号灯允许汽车通过的概率为p,则信号灯禁止汽车通过的概率为(1-p),汽车首次停下时,它已通过的信号灯的组数为ζ,则ζ可取值为0、1、2、3、4.
P(ζ=0)=p
P(ζ=1)=(1-p)p
P(ζ=2)=(1-p)²p
P(ζ=3)=(1-p)³p
P(ζ=4)=(1-p)³(1-p)
∴数学期望Eζ=0×P(ζ=0)+1×P(ζ=1)+2×P(ζ=2)+3×P(ζ=3)+4×P(ζ=4)=(1-p)[p+2(1-p)p+3(1-p)²p+4(1-p)³]=(1-p)[p+2p-2p²+3p-6p²+3p³+4-12p+12p²-4p³]=(1-p)[4-6p+4p²-p³]
当p=1-p时,即p=1/2时,Eζ=0.9375