已知函数f（x）=3x，f（a+2）=18，g（x）=λ•3ax-4x的义域为[0，1]． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若函数g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

题目

已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=λ•3^ax-4^x的义域为[0，1]．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

答案

（Ⅰ）由已知得3^a+2=18⇒3^a=2⇒a=log₃2
（Ⅱ）此时g（x）=λ•2^x-4^x
设0≤x₁＜x₂≤1，因为g（x）在区间[0，1]上是单调减函数
所以g（x₁）-g（x₂）=（2^x₂-2^x₁）（-λ+2^x₂+2^x₁）≥0成立
∵2^x₂-2^x₁＞0
∴λ≤2^x₂+2^x₁恒成立由于2^x₂+2^x₁≥2⁰+2⁰=2
所以实数λ的取值范围是λ≤2