已知椭圆的长轴是23，焦点坐标分别是（-2，0），（2，0）． （1）求这个椭圆的标准方程； （2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于两不同的点，求m的取值范围．

题目

已知椭圆的长轴是2

3

，焦点坐标分别是（-

2

，0），（

2

，0）．
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于两不同的点，求m的取值范围．

答案

（1）由已知得2a=23，c=2，解得a=3，∴b2=3-2=1，…（2分）∴椭圆的标准方程为x23+y2＝1．…（4分）（2）由y＝x+mx23+y2＝1，解方程组并整理得4x2+6mx+3m2-3=0，…（7分）∵有两个不同的交点∴△=（6m）2-4×4×（3m...

（1）由已知得2a=2

3

，c=

2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由

y＝x+m x2 3 +y2＝1

，得4x²+6mx+3m²-3=0，由此利用韦达定理能求出m的取值范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．