数列{Xn}中,X1=1/2,X(n+1)=2Xn/(1+Xn^2),求Xn

题目

数列{Xn}中,X1=1/2,X(n+1)=2Xn/(1+Xn^2),求Xn

答案

令X（n+1）=Xn =x
代入公式得到x=2x/(x^2+1)
得出x=0,-1,1三个特征值
我们取x=1（±1均可）
X（n+1）+1=2Xn/(Xn^2+1)→X（n+1）+1=（Xn +1）^2/Xn^2+1,然后两边取倒数
→1/[X(n+1) +1]=1-2/(Xn +1)
→1/[X(n+1) +1]-1/3=1-2/(Xn +1)-1/3=-2[1/[X(n+1) +1]-1/3]
数列{1/[X(n+1) +1]-1/3} 为一等比数列了
接下来知道怎么做了吧（我就不接着写了,打字打得我手都酸了）
此外要注意的是Xn=0也是符合题意的（n>1）
(不懂的继续)