若sinα/sin(α+β）=2/3 求tan（β/2)×cot（α+β/2)的值

题目

若sinα/sin(α+β）=2/3 求tan（β/2)×cot（α+β/2)的值

答案

sinα/sin(α+β)=2/3,
即sin[(α+ β/2)- β/2]/ sin[(α+ β/2)+β/2]=2/3,
分子分母展开得：
[sin(α+ β/2) cos(β/2)- cos (α+ β/2) sin(β/2)]/ [sin(α+ β/2) cos(β/2)+cos (α+ β/2) sin(β/2)] =2/3,
则3*[sin(α+ β/2) cos(β/2)- cos (α+ β/2) sin(β/2)]=2*[sin(α+ β/2) cos(β/2)+cos (α+ β/2) sin(β/2)]
即3*sin(α+ β/2) cos(β/2)- 3*cos (α+ β/2) sin(β/2)=2*sin(α+ β/2) cos(β/2)+2*cos (α+ β/2) sin(β/2),
移项得：sin(α+ β/2) cos(β/2) =5*cos (α+ β/2) sin(β/2),
所以[cos (α+ β/2) sin(β/2) ]/[sin(α+ β/2) cos(β/2)]=1/5,
即tan（β/2）• cot(α+ β/2）=1/5.