已知函数f（x）=2sin2x+23sinxcosx+1．求： （1）f（x）的最小正周期； （2）f（x）的单调递减区间； （3）f（x）在[0，π2]上的值域．

题目

已知函数f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1．求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调递减区间；
（3）f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

答案

（1）f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1
=1-cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x-

π

6

）+2
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得-

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z），
因此，f（x）的单调递减区间为[-

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，（k∈Z）
（3）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
可得当x=0时，sin（2x-

π

6

）有最小值为-

1

2

；当x=

π

3

时，sin（2x-

π

6

）有最大值为1
∴f（x）在[0，

π

2

]上最大值为f（

π

3

）=4；最小值为f（-

π

6

）=1
可得f（x）在[0，

π

2

]上的值域为[1，4]．

（1）利用三角恒等变换公式，化简得（x）=2sin（2x-

π

6

）+2，再由三角函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，解关于x的不等式

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），即可得到f（x）的单调递减区间；
（3）由当x∈[0，

π

2

]时2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，结合正弦函数的单调性，即可得到f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．

考点点评：本题给出三角函数表达式，求函数的周期与单调性．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．