设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根. (1)求n的值; (2)求证:f(1)≥2.
题目
设函数f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根.
(1)求n的值;
(2)求证:f(1)≥2.
答案
(1)f′(x)=3x
2+2mx+n.
∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数
∴当x=0时,f(x)取到极大值.
∴f′(0)=0.
∴n=0.
(2)∵f(2)=0
∴p=-4(m+2)
f′(x)=3x
2+2mx=0的两个根分别为x
1=0,x
2=-
∵函数f(x)在[0,2]上是减函数,
∴x
2=-
≥2
∴m≤-3.
∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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