已知:三点A(a,1),B(3,1),C(6,0),点A在正比例函数y=0.5x的图像上

题目

已知:三点A(a,1),B(3,1),C(6,0),点A在正比例函数y=0.5x的图像上
（1）求a的值
（2）点P为x轴上一点
1当三角形OAP与三角形CBP周长的和取得最小值时,求P的坐标
2当角APB=20°时,角OAP+角PBC的度数
急
2当角APB=25°时，角OAP+角PBC的度数
是25

答案

已知：三点A（a,1）、B（3,1）、C（6,0）,点A在正比例函数y= 12x的图象上．
（1）a=2
2
；
（2）点P为x轴上一动点．
①当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时,点P的坐标是（2.5,0）
（2.5,0）
；
②当∠APB=20°时,则∠OAP+∠PBC=155°
155°
．考点：正比例函数的定义．分析：（1）把A点坐标代入解析式即可求a．
（2）①即PA+PB最小时,△OAP与△CBP周长的和取得最小值．作A关于x轴的对称点A′,连接A′B交x轴于点P．
求出直线A′B的解析式,进一步求出与x轴的交点P的坐标；
②先求出∠AOC+∠BCO的度数,再根据三角形内角和定义求解．（1）∵点A（a,1）在正比例函数y= 12x的图象上,
∴a=2．
（2）①如图,作点A关于x轴对称点A′,可得A′（2,-1）．
连接A′B交x轴于点P．
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0）,可得此直线的解析式为y=2x-5．
当y=0时,x=2.5．
当AP+BP取得最小值时,可得△OAP与△CBP周长的和取得最小值,此时点P的坐标为（2.5,0）．
②如图,设AA′交x轴于点K．连接OA′、OB、AB,作BM⊥OC于M．
∵A′K=AK=AB=1,∠OKA′=∠A′AB=90°,OK=AA′=2,
∴△OKA′≌△A′AB．（4分）
∴OA′=A′B,∠OA′K=∠ABA′．
∵在Rt△AA′B中,
∠ABA′+∠AA′B=90°,
∴∠OA′B=90°．
∴△OA′B为等腰直角三角形．
∴∠BOA′=∠BOC+∠A′OC=45°．
∵BM⊥OC,OM=MC=3,
∴OB=BC．
∴∠BOC=∠BCO．
∵∠AOC=∠A′OC,
∴∠AOC+∠BCO=45°．
如图,当∠APB=20°时,
∠OAP+∠PBC
=360°-（∠AOC+∠BCO）-（∠APO+∠BPC）
=360°-45°-（180°-20°）=155°．