证明对任意n,任意2n-1元正整数集合,一定存在n个元素,使得他们的和是n的倍数
题目
证明对任意n,任意2n-1元正整数集合,一定存在n个元素,使得他们的和是n的倍数
答案
COPY如下 :
不难验证,若命题对两个正整数m、n分别成立,则对mn也成立.于是只要验证命题对任意素数p成立.用反证法,假设存在2p-1个数{a[1],...,a[2p-1]},使得其中任意p个的和不是p的倍数.
对{1,...,2p-1}的任意p元子集I,令
S[I]=∑a[i],i∈I
根据假设及Fermat小定理,S[I]^(p-1)=1 [mod p].从而
∑S[I]^(p-1) = C(2p-1,p) [mod p]
容易验证,C(2p-1,p)不是p的倍数.---------------到这部分我还明白了
另一方面,每个S[I]^(p-1)由如下的项组成:
{(p-1)!/(e[1]!*...*e[r]!)}*a[i(1)]^(e[1])*...*a[i(r)]^(e[r])---------------这是二项式展开
其中i(1),...,i(r)∈I,e[1]+...+e[r]=p-1.而每个这样的项会在包含{i(1),...,i(r)}的p元指标集I所对应的S[I]中各出现一次.对每个固定的{i(1),...,i(r)},这样的I共有C(2p-1-r,p-r)个.注意到0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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