求由曲线y=e^x,x轴,y轴及直线x=1所围成的平面图形绕Y轴旋转所成旋转体的体积V

题目

求由曲线y=e^x,x轴,y轴及直线x=1所围成的平面图形绕Y轴旋转所成旋转体的体积V
V=π*1²*e-∫【1→e】[π(Ln y²) dy]
是怎么到
=πe-∫【0→1】[πx² d(e^x)]

答案

解 图形绕y轴旋转,则该立体可看作圆柱体（即由x=1,y=e,x=0,y=0
所围成的图形绕y轴所得的立方体） 减去由曲线y=e^x,y=e,x=0所围成
的图形绕y轴所得的立体,因此体积为
V=π*1²*e-∫【1→e】[π(Ln y)² dy]
{注：此处∫【1→e】表示上限为e,下限为1的定积分,下同}
=πe-∫【0→1】[πx² d(e^x)]
下面对∫【0→1】[πx² d(e^x)]用分部积分法
∫【0→1】[πx² d(e^x)]
=π（1²*e-0)-π[∫【0→1】[e^x dx²]
=πe-2π[∫【0→1】[e^x*x dx]
=πe-2π[∫【0→1】[x de^x]
=πe-2π(1*e-0)+2π[∫【0→1】[e^x dx]
=πe-2πe+2π(e-1)
=πe-2π
于是V=πe-∫【0→1】[πx² d(e^x)]
=πe-（πe-2π）
=2π