试证适合xy+yz+zx=1的实数x,y,z必不能满足x+y+z=xyz

题目

试证适合xy+yz+zx=1的实数x,y,z必不能满足x+y+z=xyz

答案

由xy+yz+zx=1得：
xy=1-yz-xz
由xyz=x+y+z得：
xy=x/z+y/z+1
则1-yz-xz=x/z+y/z+1
-yz-xz=x/z+y/z
x/z+y/z+yz+xz=0
假设xyz不为0 （易证假设xyz为0不成立,从略）
x+y+yz^2+xz^2=0
y(1+z^2)+x(1+z^2)=0
(1+z^2)(x+y)=0
在实数范围内(1+z^2)不为0
则x+y=0
代入xyz=x+y+z得
xyz=z
xy=1,在实数范围内与x+y=0不符
等式xy+yz+zx=1的x,y,z不能满足xyz=x+y+z