关于lim[x->0,cotx(1/sinx-1/x)中使用无穷小替换的问题

题目

关于lim[x->0,cotx(1/sinx-1/x)中使用无穷小替换的问题
lim[x->0,cotx(1/sinx-1/x)
=lim[x->0,(cotx/sinx-cotx/x)
=lim[x->0,1/sinxtanx]-lim[x->0,1/xtanx](用无穷小替换）
=lim[x->0,1/x^2]-lim[x->0,1/x^2]
=lim[x->0,1/x^2-1/x^2]
=lim[x->0,0]=0
这么做为什么得出的答案是错的?正确答案是1/6,是用无穷小替换那一步出错了吗?课那个时候我已经是在SINX和TANX不牵扯加减法只在乘除法的情况下才替换的.劳烦说明一下原因,最好能把正确解法缀上,

答案

lim[x->0,cotx(1/sinx-1/x)
=lim[x->0,cosx(x-sinx)/[x(sinx)^2]
=lim[x->0,[xcosx-sinxcosx]/x^3
=lim[x->0,(xcosx-1/2sin2x)/x^3
=lim[x->0,(cosx-xsinx-cos2x)/3x^2
=lim[x->0,(-sinx-sinx-xcosx+2sin2x)/6x
=lim[x->0,(-2cosx-cosx+xsinx+4cos2x)/6
=lim[x->0,(-3cosx+xsinx+4cos2x)/6
=lim[x->0,(-3+0+4)/6
=1/6