当0＜a＜2时,直线l1:ax-2y=2a-4与l2:2x+a²y=2a²+4和两坐标轴围成一个四边形,问a取何值时这个四边形最小,并求这个最小值

题目

当0＜a＜2时,直线l1:ax-2y=2a-4与l2:2x+a²y=2a²+4和两坐标轴围成一个四边形,问a取何值时这个四边形最小,并求这个最小值

答案

证明：（1）由l1：ax-2y=2a-4变形得
a（x-2）-2y+4=0
所以,当x=2时,y=2
即直l1过定点（2,2）
由l2：2x+a^2y=2a^2+4变形得
a^2（y-2）+2x-4=0
所以当y=2时,x=2
即直线l2过定点（2,2）
（2）如图：
（3）直线l1与y轴交点为A（0,2-a）,
直线l2与x轴交点为B（a^2+2,0）,如图
由直线l1：ax-2y-2a+4=0知,直线l1也过定点C（2,2）
过C点作x轴垂线,垂足为D,
于是S四边形AOBC=S梯形AODC+S△BCD
=1/2(2-a+2)*2+1/2a^2 *2
=a^2-a+4
=a^2-a+（1/2)^2-（1/2)^2+4
=(a-1/2)^2+15/4
∴当a=1/2时,S四过形AOBC最小．
此时S四边形AOBC=15/4