若三角形的三边长都是正整数,一边的长为4,但它不是最短边,求所有满足条件的三角形的个数.

题目

若三角形的三边长都是正整数,一边的长为4,但它不是最短边,求所有满足条件的三角形的个数.
请写出完整解题过程,最好有理由.

答案

设三角形的三边分别为：a、b、c.
根据三角形的性质：两边和＞第三边,来判断.
一边的长为4,但它是最长边：
a=4,且b=4,c=1、2、3.
a=4,且b=3,c=2、3、4.
a=4,且b=2,c=3、4.
a=4,且b=1,c=4.
共9个,去掉重复的,有：5个.
(4,4,1)、(4,4,2)、(4,4,3)、(4,3,2)、(4,3,3)
一边的长为4,但它不是最长边,不是最短边,即c最长：
a=4,b=1,c=4、5、6
a=4,b=2,c=4、5
a=4,b=3,c=4
共6个,去掉重复的,有：6个.
(4,1,4)、(4,1,5)、(4,1,6)、(4,2,4)、(4,2,5)、(4,3,4).
再去掉与上面重复的,有：8个
(4,4,1)、(4,4,2)、(4,4,3)、(4,3,2)、(4,3,3)、(4,1,5)、(4,1,6)、(4,2,5)
所有满足条件的三角形的个数是：8个.