圆O是四边形ABCD的外接圆,延长AB,CD交于点Q;延长AD,BC交于点P.PE是圆O的切线,E是圆的切点.连接QE,PO.

圆O是四边形ABCD的外接圆,延长AB,CD交于点Q;延长AD,BC交于点P.PE是圆O的切线,E是圆的切点.连接QE,PO.

题目
圆O是四边形ABCD的外接圆,延长AB,CD交于点Q;延长AD,BC交于点P.PE是圆O的切线,E是圆的切点.连接QE,PO.
求证:QE垂直于PO
答案
题目应该是AB,DC交于点Q吧.
证明:连结OE,OQ,PQ,过Q任作⊙O的一条切线,切点为G,连结OG,在PQ上找一点F,使B,C,Q,F四点共圆,连结CF
因为B,C,Q,F四点共圆,所以∠PFC=∠PBQ,而∠PBQ=∠ADQ,所以∠PFC=∠ADQ,所以P,F,C,D四点共圆
PE²=PC·PB,而PC·PB=PF·PQ,所以PE²=PF·PQ,所以PQ²-PE²=PQ²-PF·PQ=PQ(PQ-PF)=QF·QP,又QF·QP=QC·QD,QC·QD=QG²,所以PQ²-PE²=QG².又因为QG是切线,所以OG⊥QG,所以QG²=QO²-OG²=QO²-OE²,综上所述,PQ²-PE²=QO²-OE²
所以 (向量PQ)²-(向量PE)²=(向量QO)²-(向量OE)²,即 (向量PQ+向量PE)·(向量PQ-向量PE)=(向量QO+向量OE)·(向量QO-向量OE),即 (向量PQ+向量PE)·向量EQ=向量QE·(向量QO-向量OE),移项得 向量EQ·(向量PQ+向量PE+向量QO-向量OE)=0,向量EQ·(2向量PO)=0,所以EQ⊥PO
事实上,由PQ²-PE²=QO²-OE²可以直接推出EQ⊥PO,这是一条定理,只是名称我忘了.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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