设函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围（　　） A.a＞6或a＜-3 B.-3＜a＜6 C.a≥6或a≤-3 D.-3≤a≤6

题目

设函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1，既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围（　　）
A. a＞6或a＜-3
B. -3＜a＜6
C. a≥6或a≤-3
D. -3≤a≤6

答案

∵f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1∴f'（x）=3x²+2ax+（a+6）
∵函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1既有极大值又有极小值
∴△=（2a）²-4×3×（a+6）＞0
∴a＞6或a＜-3
故选A．

先对函数进行求导，根据函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而可解出a的范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，同时考查了利用导数研究函数的极值，属中档题．