求二重积分∫(1/2—1)dy∫(y—√y)e^(y/x)dx

题目

求二重积分∫(1/2—1)dy∫(y—√y)e^(y/x)dx

答案

不能先对 x 积分,需交换积分次序：
D:y ≤ x ≤ √y,1/2 ≤ y ≤ 1 分成两个区域：
D1:1/2 ≤ y ≤ x,1/2 ≤ x ≤ √2/2 D2:x² ≤ y ≤ x,√2/2 ≤ x ≤ 1
I = ∫∫D1 e^(y/x) dydx + ∫∫D2 e^(y/x) dydx
= ∫[1/2,√2/2] dx ∫[1/2,x] e^(y/x) dy + ∫[√2/2,1] dx ∫[x²,x] e^(y/x) dy
= ∫[1/2,√2/2] [ e x﹣x e^(1/(2x)) ] dx + ∫[√2/2,1] (e x﹣x e^x) dx
= .
= 3e/8 ﹣ (1-√2/2) e^(√2/2) ﹣ ∫[1/2,√2/2] x e^(1/(2x)) ] dx
其中 ∫ x e^(1/(2x)) ] dx 不可求.
换用极坐标,也遇到类似问题.请检查题目.