已知a1，a2，…，an均为正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．

题目

已知a₁，a₂，…，a_n均为正数，且a₁•a₂…a_n=1，求证：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ．

答案

证明：∵a₁＞0，1＞0；2+a1=1+1+a1≥3•

3	1•1•a1

=3•

3	a1

＞0；…（2分）
同理：2+a2=1+1+a2≥3•

3	1•1•a2

=3•

3	a2

＞0；…2+an=1+1+an≥3•

3	1•1•an

=3•

3	an

＞0
由不等式性质：上面n大于0的同向不等式相乘，即得：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n•

3	a1•a2…an

…（4分）
∵已知：a₁•a₂…a_n=1，代入上式得：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ…（6分）

根据不等式的结构特征，得出2+an=1+1+an≥3•

3	1•1•an

=3•

3	an

＞0，对各项放缩后，再利用不等式的性质同向不等式相乘．

本题考点：不等式的基本性质；基本不等式；数列与不等式的综合．

考点点评：本题考查不等式的证明．用到了利用三元均值不等式放缩法和不等式的性质．