已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,过A（a,0）B(0,-b)两点的直线到原点的距离是五分之四倍根号五.求椭圆标准方程

题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,过A（a,0）B(0,-b)两点的直线到原点的距离是五分之四倍根号五.求椭圆标准方程

答案

e=c/a=√3/2 从而 c²=(3/4)a²
b²=a²-c²=a²/4,
a=2b (1)
过A（a,0）B(0,-b)两点的直线方程是 x/a+y/(-b)=1,即 bx-ay-ab=0
原点到直线的距离d=|0+0-ab|/√(a²+b²)=ab/√(a²+b²)=4√5/5
将a=2b代入,得 2b²/√(5b²)=4√5/5,解得b=2,a=4
椭圆标准方程为：x²/16+y²/4=1