任意角的三角函数解题步骤

题目

任意角的三角函数解题步骤

答案

三角函数变换的方法与技巧 (1)
角的变换
x05在三角函数的求值、化简与证明题中,表达式往往出现较多的相异角,此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解.常见角的变换方式有：；；；等等.
x05例1、已知,求证：.
分析：在条件中的角和 与求证结论中的角是有联系的,可以考虑配凑角.
x05,
函数名称的变换
x05三角函数变换的目的在于“消除差异,化异为同”.而题目中经常出现不同名的三角函数,这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数.变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式.如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦,或化为正切、余切、正割、余割等等.常见的就是切割化弦.
x05例2 、(2001年上海春季高题)已知 ,试用表示的值.
分析：将已知条件“切化弦”转化为的等式.
由已知；
.
常数的变换
x05在三角函数的、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数,例如常数“1”的变换有：,等等.
x05例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期,最大值和最小值.
x05分析：由所给的式子可联想到.
x05
x05
x05 .
x05所以函数的最小正周期是,最大值为,最小值为.
公式的变形与逆用
x05在进行三角变换时,我们经常顺用公式,但有时也需要逆用公式,以达到化简的目的.通常顺用公式容易,逆用公式困难,因此要有逆用公式的意识.教材中仅给出每一个三角公式的基本形式,如果我们熟悉其它变通形式,常可以开拓解题思路.如由可以变通为与；由可变形为等等.
x05例4、求的值.
x05分析：先看角,都是,再看函数名,需要切割化弦,最后在化简过程中再看变换.
x05原式(切割化弦)
x05
x05(逆用二倍角公式)
x05(常数变换)
x05(逆用差角公式)
x05(逆用二倍角公式).
x05这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧,在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧,将有利于我们对三角函数这一章内容的理解.
三角函数变换的方法与技巧(2)
在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法,下面我们再介绍四种变换的方法与技巧：
引入辅助角
x05可化为,这里辅助角所在的象限由的符号确定,角的值由确定.
x05例5、求的最大值与最小值.
x05分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数,借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名,则应考虑引入辅助角.
x05
其中,
x05当时,；
x05当时,.
x05注：在求三角函数的最值时,经常引入辅助角,然后利用三角函数的有界性求解.
幂的变换
x05降幂是三角变换时常用的方法,对于次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法.常用的降幂公式有：,和
等等.降幂并非绝对,有时也需要升幂,如对于无理式常用升幂化为有理式.
例6、化简.
分析：从“幂”入手,利用降幂公式.
x05原式
消元法
如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量,可以使用消元法消去此变量,然后再求解.
x05例7、求函数的最值.
x05原函数可变形为：,即
x05,
x05解得：,.
变换结构
x05在三角变换中,常常对条件、结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等等.在形式上有时须和差与积互化,分解因式,配方等.
例8、化简.
分析：本题从“形式”上看,应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式,只需把分子分母化成积的形式.
所以.
九、思路变化
对于一道题,思路不同,方法出随之不同.通过分析,比较,才能选出思路最为简例9、求函数 的最大值.
由于,则为点与点()连线的斜率.则斜率最为当连线与半单位圆相切时,如图所示：
此时,.
x05捷的方法.