f(x)在[a,b]内2阶可导,f(x)二阶导数的绝对值小于等于M;有在(a,b)内部去等取得最小值

题目

f(x)在[a,b]内2阶可导,f(x)二阶导数的绝对值小于等于M;有在(a,b)内部去等取得最小值
证明f(a)的一阶导数的绝对值加上f(b)一阶导数的绝对值小于等于M(b-a)
证明：

答案

证明：
设f(x)在x0处取得最小值,则x0属于(a,b)且f'(x0)=0
由于f(x)在[a,b]内2阶可导,所以
存在x1属于(a,x0),存在x2属于(x0,b)使得
f'(a)=f'(x0)+f''(x1)(a-x0)
f'(b)=f'(x0)+f''(x2)(b-x0)
因此
|f'(a)|+|f'(b)|
≤|f''(x1)(a-x0)|+|f''(x2)(b-x0)|
≤M(|a-x0|+|b-x0|)
=M(b-a)