费马点如何证明?

题目

费马点如何证明?

答案

证明：
(1)费马点对边的张角为120°.
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60°=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60°,得∠PCB+∠CBP=60°,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120°,∠APC=120°　(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60°与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60°　又∠BPA=120°,因此A、P、D三点在同一直线上,
又∠CPB=∠A1DB=120°,∠PDB=60°,∠PDA1=180°,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1.
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合）,连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60°与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1