在四面体ABCD中,E,F分别为棱AB,BC的中点,G,H分别为棱CD,DA上的点,且AH=2HD,CG=2GD,求证（1）E,F,G,H四点共面（2）直线EH,FG,BD交于一点.

题目

在四面体ABCD中,E,F分别为棱AB,BC的中点,G,H分别为棱CD,DA上的点,且AH=2HD,CG=2GD,求证（1）E,F,G,H四点共面（2）直线EH,FG,BD交于一点.

答案

1.EF是△ABC的中位线
∴EF∥AC
在△ACD中：
∵AH:HD=2:1=CG:GD
∴GH∥AC
∴EF∥GH
∴E、F、G、H四点共面
2.设EH∩FG=P
则P∈EH,且P∈FG
∵EH∈平面ABD
∴P∈平面ABD
∵FH∈平面CBD
∴P∈平面CBD
∵平面ABD∠平面CBD=BD
∴P∈BD
∴EH、FG、BD交于一点