过抛物线Y^2=2PX的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个焦点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-P^2

题目

过抛物线Y^2=2PX的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个焦点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-P^2

答案

抛物线y^2=2px的焦点为（p/2,0）
所以设过此焦点的直线方程为y=k(x-p/2)
将抛物线y^2=2px与直线y=k(x-p/2)联立可得
k^2(x-p/2)^2=2px
即k^2x^2-(k^2-2)px+k^2p^2/4=0
故这两个交点的坐标根据题意可设为（x1,y1）,（x2,y2）
所以
x1*x2=p^2/4
所以(y1y2)^2=2px1*2px2=4p^2*p^2/4=p^4
因为y1与y2必然一正一负（过焦点的直线,必然分别取抛物线交于y正半轴与y负半轴）
所以y1y2=-p^2
*这是乘号
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