三角形ABC是直角三角形,角ABC是90度,以AB为直径的 园O交AC于E,点D是BC边的中点,连接DE

题目

三角形ABC是直角三角形,角ABC是90度,以AB为直径的 园O交AC于E,点D是BC边的中点,连接DE
证明DE与园O相切

答案

证法1:连接OE,OD.(见左图）
∵O为AB中点,D为BC中点.
∴OD∥AC,得:∠A=∠DOB;∠OEA=∠DOE;
又OE=OA,得:∠A=∠OEA.
∴∠DOB=∠DOE(等量代换);又OE=OB,OD=OD.
∴⊿DOE≌⊿DOB(SAS),∠OED=∠OBD=90°,故DE与圆O相切.
证法2:连接OE,DE.（见右图）
AB为直径,则:∠BEA=90°=∠BEC.
又D为BC中点,则:DE=BC/2=DB.(直角三角形斜边的中线等斜边的一半)
∴∠DEB=∠DBE;
又OE=OB,得:∠OEB=∠OBE.
∴∠OEB+∠DEB=∠OBE+∠DBE=90°.故DE与圆O相切.