如图，点P为圆上的一个动点，弦AB=3，PC是∠APB的平分线，∠BAC=30°．问：当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？

题目

如图，点P为圆上的一个动点，弦AB=

3

，PC是∠APB的平分线，∠BAC=30°．问：当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？

答案

∵∠CPB=∠BAC=30°，
而PC是∠APB的平分线，
∴∠APB=2∠CPB=60°，AC弧=BC弧
∴C点为AB弧的中点，
当P点为优弧AB的中点时，△PAB的面积最大，则四边形PACB有最大面积，
此时PC为⊙O的直径，
∴∠PAC=90°，PA=AB=

3

，
而∠APC=30°，
∴AC=

3

3

PA=1，
∴S_△PAC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴四边形PACB最大面积=2S_△PAC=

3

，
即当∠PAC等于90度时，四边形PACB有最大面积，最大面积是

3

．

根据圆周角定理得∠CPB=∠BAC=30°，而PC是∠APB的平分线，所以∠APB=2∠CPB=60°，AC弧=BC弧；当P点为优弧AB的中点时，△PAB的面积最大，即四边形PACB有最大面积，此时PC为⊙O的直径，则∠PAC=90°，PA=AB=

3

，可计算∴AC=

3

3

PA=1，根据三角形面积公式得S_△PAC=

3

2

，此时四边形PACB最大面积=2S_△PAC=

3

．

本题考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

考点点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．