已知函数f(x)=-3x^3+x的图像为曲线C.

题目

已知函数f(x)=-3x^3+x的图像为曲线C.
（2）设点p为曲线c上任意一点,曲线c在点p（xo,yo）处切线为L1,直线L2为过点p的曲线c的另一条切线（切点异于点p）,切点为Q（x1,y1）,求证xo=-2x1；
（3）设直线L1与直线L2的夹角为φ,求tanφ的最大值

答案

（2）f'(x)=-9x^2+1,
P(x0,y0)为曲线C上任意一点,
∴y0=-3x0^3+x0,
同理y1=-3x1^3+x1,
L2:y-(-3x1^3+x1)=(-9x1^2+1)(x-x1)过点P,
∴-3x0^3+x0-(-3x1^3+x1)=(-9x1^2+1)(x0-x1),
x0≠x1,
两边约去（x0-x1),得
-3（x0^2+x0x1+x1^2)+1=-9x1^2+1,
化简得x0^2+x0x1-2x1^2=0,
∴x0=-2x1.
(3)L1的斜率k1=-9x0^2+1=-36x1^2+1,
L2的斜率k2=-9x1^2+1,
∴tanφ=|（k2-k1)/(1+k2k1)|=|27x1^2/[1+(-9x1^2+1)(-36x1^2+1)]|
=27x1^2/(2-45x1^2+324x1^4)
=27/[2/x^2+324x1^2-45]