已知△ABC的三边为有理数.1）求证cosA是有理数,（2）求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.

题目

已知△ABC的三边为有理数.1）求证cosA是有理数,（2）求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.

答案

（1）求证cosA是有理数.
证明：在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,则由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA,故cosA=(b²+c²-a²)/(2bc).因为有理数的四则运算结果仍是有理数,所以(b²+c²-a²)/(2bc)是有理数,即cosA是有理数.
（2）求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.
用数学归纳法证：当n=1时,由（1）知cosA是有理数,假设cos(n-1)A也是有理数,则cosnA=cos(n-1+1)A=cos(n-1)AcosA-sin(n-1)AsinA,cos(n-1)AcosA 是有理数,只要证sin(n-1)AsinA也是有理数就可以了.sin(n-1)A=√[1-cos²(n-1)A,sinA=√(1-cos²A),能否证明它们是有理数呢?
稍后.