巳知方程x^3+3x^2+mx+n=0的三个根成等差数列,方程x^3-(m-2)x^2+(n-3)x-8=0的三个根成等比数列,求m,n的值

题目

巳知方程x^3+3x^2+mx+n=0的三个根成等差数列,方程x^3-(m-2)x^2+(n-3)x-8=0的三个根成等比数列,求m,n的值

答案

首先看下一元三次方程的韦达定理：
设方程为 aX^3+bX^2+cX+d=0,则有 ：
X1·X2·X3= -d/a； 　　X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； 　　X1+X2+X3= -b/a.
由题意可以设第一个方程的三个根分别为：y-i,y ,y+i （i 为公差）
根据上述韦达定理得：y-i+ y +y+i = -b/a =-3 可得：y= -1
（y-i）· y · （y+i ）= -d/a = -n 可得：1-i^2 =n ————（1）
(y-i) · y + ( y-i)·(y+i) + y · (y+i) = c/a =m 可得：3 - i^2=m ————（2）
设第二个方程的三个根分别为：t/q ,t ,tq (q为公比)
根据上述韦达定理得：t/q · t · tq = -d/a = 8 可得：t=2
t/q+t +tq= -b/a = m-2 可得：2(1/q+1+q) = m-2 ————（3）
t/q · t +t/q · tq + t · tq =c/a =n-3 可得：4(1/q+1+q)=n-3————（4）
所以由上述（1）（2）两式可得：m-n=2 ——————（5）
由上述（1）（2）两式可得：2m-n=1——————（6）
最后由（5）（6）两式解得：m= -1 ,n= -3