以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC．试说明： （1）EF=EC； （2）EB⊥CF．

题目

以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC．试说明：

（1）EF=EC；
（2）EB⊥CF．

答案

证明：∵△ABE和△BCF都是等边三角形，
∴AB=BE，BC=BF，∠ABE=∠CBF=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=90°+60°=150°，
∠EBF=360°-60°×2-90°=150°，
∴∠EBF=∠CBE，
在△BCE和△BFE中，

AB＝BE ∠EBF＝∠CBE BC＝BF

，
∴△BCE≌△BFE（SAS），
∴EF=EC；
（2）∵△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵EF=EC，
∴EB⊥CF．

（1）根据等边三角形的性质可得AB=BE，BC=BF，∠ABE=∠CBF=60°，再根据周角等于360°求出∠EBF=150°，从而得到∠EBF=∠CBE，然后利用“边角边”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EC；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠BEF，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据角度相等求出∠EBF=∠CBE是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．