函数y=sinx+3cosx+2cos2x+3sin2x的值域为 _ ．

题目

函数y=sinx+

3

cosx+2cos²x+

3

sin2x的值域为 ___ ．

答案

y=sinx+

3

cosx+2cos²x+

3

sin2x
=2sin（x+

π

3

）+1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（x+

π

3

）-2cos（2x+

2π

3

）+1
=2sin（x+

π

3

）-2（1-2sin²（x+

π

3

）+1
=4sin²（x+

π

3

）+2sin（x+

π

3

）-1
令t=sin（x+

π

3

），
∵sin（x+

π

3

）∈[-1，1]
∴t∈[-1，1]
∴y=4t²+2t-1，t∈[-1，1]
当t=-

1

4

时，ymin=-

5

4

；
当t=1时，y_max=5．
所以函数的值域为[-

5

4

，5]．
故答案为：[-

5

4

，5]．

先利用两角和与差的公式进行化简，然后通过换元转化成二次函数求值域．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题考查了三角变换及三角函数的值域，解题的关键是选择恰当的公式对表达式进行变形；考查转化思想，把较复杂的函数通过换元转化成简单的二次函数，要注意函数的定义域．