已知数列an满足sn＝2n－an,求出此数列的前4项,推测出其表达式再证明.

题目

已知数列an满足sn＝2n－an,求出此数列的前4项,推测出其表达式再证明.
我要的重点是证明

答案

因为S1=a1
所以a1=2×1-a1 ==>a1=1
因为S2=a1+a2
所以1+a2=2×2-a2 ==>a2=3/2
因为S3=a1+a2+a3
所以1+3/2+a3=2×3-a3 ==>a3=7/4
因为S4=a1+a2+a3+a4
所以1+3/2+7/4+a4=2×4-a4 ==>a4=15/8
猜想an=(2^n-1)/2^(n-1)
证明：因为Sn=2n-an
所以Sn-1=2(n-1)-a(n-1)
两式相减可得Sn-S(n-1)=an=[2n-an]-[2(n-1)-a(n-1)]
所以an=2n-an-2n+2+a(n-1)
所以2an=a(n-1)+2
变形为a(n-1)-2=2(an-2)
所以{an-2}是一个以1/2为公比的等比数列
因为a1-2=1-2=-1
所以an-2=(-1)×2^(n-1)
所以an=2-1×2^(n-1)=[2^n/2^(n-1)]-1×2^(n-1)=(2^n-1)/2^(n-1)
把n=1代入an=(2^n-1)/2^(n-1)
符合a1=1
所以an=(2^n-1)/2^(n-1)