设向量a,b满足|a|=2,|a-b|=1,则a与b的夹角的取值范围是

题目

设向量a,b满足|a|=2,|a-b|=1,则a与b的夹角的取值范围是

答案

∵ |a-b|=1
∴ (a-b)²=1
∴ a²-2a.b+b²=1
代入|a|=2
∴ 4-2a.b+b²=1
∴ 2a.b-b²=3
设a,b的夹角是W
则cosW=a.b/(|a|*|b|)
=(3+b²)/(2*2*|b|)
=(3/|b|+|b|)/4
≥ 2√3/4
=√3/2
当且仅当 |b|=√3时等号成立
∴ cosw ≥ √3/2
∴ W∈[0,π/6]
即 a与b的夹角的取值范围是[0,π/6]