设f(x)=x^a×cos（1x）,x≠0,f（x）=0,x=0,其导数在x=0处连续,则a的取值范围是?

题目

设f(x)=x^a×cos（1\x）,x≠0,f（x）=0,x=0,其导数在x=0处连续,则a的取值范围是?

答案

利用定义有f'(0)=lim(f(x)-f(0))/(x-0)=limx^{a-1)cos(1/x)=0,当a>1时,若a《1时没有极限,即不可导.在不等于0的地方,利用初等函数的求导法则有有f‘（x)=ax^{a-1)cos(1/x)-x^{a-2}sin(1/x),当x趋于0时,必须有a>2时上式才趋于0,此时连续,故a>2时导数连续.