从一点P引出三条射线PA、PB、PC,且两两呈60度角,则二面角A-PB-C的余弦值是多少?

题目

从一点P引出三条射线PA、PB、PC,且两两呈60度角,则二面角A-PB-C的余弦值是多少?
请说明理由,

答案

解:由题知各各角均为60.
所以各个面均为正三角形,即为正三梭锥
设AC的中点为O,OB为正x轴,OC为正y轴,Op为正y轴,边长为1(无影响,设a也可以)
则:A(0,-1/2,0),p(0,0,根3/2),B(根3/2,0,0),C(0,1/2,0)
解得APB的法向量n1=(1,-根3,1)
pBC的法向量n2=(1,根3,1)
所以cosa=n1n2/丨n1||n2|=1/5
所以角=arccos1/5