双曲线X^2-2Y^2=2的左右两个焦点F1,F2,动点P满足|PF1|+|PF2|=4

题目

双曲线X^2-2Y^2=2的左右两个焦点F1,F2,动点P满足|PF1|+|PF2|=4
①求动P的轨迹E的方程
②设过F2且不垂直坐标轴的动直线L交轨迹E于A,B两点,问：线段OF2上是否存在一点D,使以DA,DB为邻边的平行四边形为菱形?

答案

1）
x^2-2y^2=2
x^2/2-y^2=1
c=√3
动点P满足|PF1|+|PF2|=4
轨迹为椭圆：x^2/4+y^2=1
2)
直线l方程为：y=k(x+√3)
代人x^2/4+y^2=1得：
x^2/4+k^2(x+√3)^2=1
(1+4k^2)x^2+8√3k^2x+3k^2-1=0
(x1+x2)/2=-4√3k^2/(1+4k^2)
所以
(y1+y2)/2=√3k/(1+4k^2)
所以,AB中垂线方程为：y-√3k/(1+4k^2)=-1/k*(x+4√3k^2/(1+4k^2))
y=0时
√3k^2/(1+4k^2)=x+4√3k^2/(1+4k^2)
x=-3√3k^2/(1+4k^2)
所以,-√3