设整数A、B、B-A、都不是3的倍数,证明：A^3+B^3是9的倍数

题目

设整数A、B、B-A、都不是3的倍数,证明：A^3+B^3是9的倍数

答案

显然,A、B被3整除的余数分别是1、2,不妨设A＝3m＋1,B＝3n＋2
A^3＋B^3
＝(A＋B)(A^2－AB＋B^2)
＝(A＋B)[(A＋B)^2－3AB]
∵A＋B＝3m＋1＋3n＋2＝3(m＋n＋1)是3的倍数
∴(A＋B)^2－3AB也是3的倍数
结论成立