A,B,C,D为n阶矩阵,A可逆,且AC=CA,如何证明|A B;C D|=|AD-CB|

题目

A,B,C,D为n阶矩阵,A可逆,且AC=CA,如何证明|A B;C D|=|AD-CB|
刘老师,您好,请问这道题怎么证明,谢谢!
A,B,C,D为n阶矩阵,A可逆,且AC=CA证明|A B;C D|=|AD-CB|

答案

|A|不等于0,故A是可逆矩阵
[A^(-1) On] *[A B] =[ In A^(-1)B]
[-CA^(-1) In] [C D] [ 0n D-CA^(-1)B]
两边同取行列式
左边=|A^(-1)|*|A B|=|D-CA^(-1)B|
|C D|
|A|*|A^(-1)|=1
|A B|=|A|*|D-CA^(-1)B|=|A(D-CA^(-1)B|=
|C D|
=|AD-ACA^(-1)B|=|AD-CAA^(-1)B|=|AD-CB|
注：开始2行是矩阵,其中In是n阶单位矩阵