平面上四个点O,A,B,C满足AB²+OC²=AC²+OB²,求证OA向量=BC向量

题目

平面上四个点O,A,B,C满足AB²+OC²=AC²+OB²,求证OA向量=BC向量

答案

我得出结果不是相等,而是相互垂直关系.
以O为原点建立直角坐标系,
O（0,0）,
设向量OA=（x1,y1),OB=(x2,y2),OC(x3,y3),
向量AB=（x2-x1,y2-y2),向量AC=(x3-x1,y3-y1),向量BC=（x3-x2,y3-y2)
AB^2+OC^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+x3^2+y3^2,
AC^2+OB^2=(x3-x1)^2+(y3-y1)^2+x2^2+y2^2,
(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+x3^2+y3^2=(x3-x1)^2+(y3-y1)^2+x2^2+y2^2,
-2x1x2-2y1y2=-2x1x3-2y1y3,
x1x2+y1y2=x1x3+y1y3,
x1x3-x1x2+y1y3-y1y2=0
OA·BC=x1x3-x1x2+y1y3-y1y2=0,
故向量OA⊥BC.
不是相等关系.