设(X,ρ)是度量空间,F1,F2是它的两个紧子集,求证：∃ xi ∈ Fi ( i = 1,2),使得ρ(F1,F2) = ρ(x1,x2)．其中ρ(F1,F2) = inf {ρ(x,

题目

设(X,ρ)是度量空间,F1,F2是它的两个紧子集,求证：∃ xi ∈ Fi ( i = 1,2),使得ρ(F1,F2) = ρ(x1,x2)．其中ρ(F1,F2) = inf {ρ(x,y) | x∈F1,y∈F2 }

答案

证明：由ρ(F1,F2)的定义,∀n∈⋰+,∃ xi(n) ∈ Fi ( i = 1,2),使得 ρ(x1(n),x2(n)) < ρ(F1,F2) + 1/n． 因F1,F2紧,故不妨假设{x1(n)},{x2(n)}都是收敛列． 设它们的极限分别为x1,x2,则ρ(x1,x2) ...