如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．

题目

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．

答案

证明：∵AB=BC=CA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中

AB＝AC ∠BAC＝∠C AE＝DC

∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，
∵BQ⊥AD
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

推出等边三角形ABC，推出∠BAC=∠C=60°，证△ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，求出∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，求出∠PBQ=30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠BPQ=60°和∠PBQ=30°．