点P在正方形ABCD内,AP=1,BP=2,CP=3,求正方形ABCD的面积

题目

点P在正方形ABCD内,AP=1,BP=2,CP=3,求正方形ABCD的面积
不要用余弦定理

答案

设正方形ABCD的边长为a
建立直角坐标,A(0,0）B（0,a）C（a,a）D（a,0）
设P坐标（x,y）
PA²=x²+y²=1
PB²=x²+(y-a)²=4 x²+y²+a²-2ay=4 a²-2ay=3 y=a/2-3/2a
PC²=(x-a)²+(y-a)²=9 x²+y²+a²-2ax+a²-2ay=9 1+a²-2ax+3=9 a²-2ax =5 x=a/2-5/2a
(a/2-5/2a )²+(a/2-3/2a)²=1
(a-5/a)²+(a-3/a)²=4
a²-10+25/a²+a²-6+9/a²=4
2a²+34/a²=20
a²+17/a²=10
a^4-10a²+17=0
a²=5±2√2
a²=5+2√2
a²=5-2√2