已知f(x)是二次函数,不等式f(x)>0的解集是(-∞,0)υ(5,+∞),且f(x)在区【-1,4】上的最大值是12,求f(x)的解析式.到了后面求最大值时为什么带(-1)进去?
题目
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)>0的解集是(-∞,0)υ(5,+∞),且f(x)在区【-1,4】上的最大值是12,求f(x)的解析式.到了后面求最大值时为什么带(-1)进去?
答案
设f(x)=ax^2+bx+c
从f(x)>0的解集是(-∞,0)并(5,+∞)可以看出以下信息:
1>.开口向上;a>0
2>.与x轴交点为x=0和x=5,故对称轴为x=2.5
分别把f(0)=f(5)=0代入,可得:
c=0 (1)
5a+b=0 (2)
f(x)在区【-1,4】上的最大值是12
对称轴为x=2.5,故最大值为f(-1) [注:开口向上,距离对称轴越远,函数值越大]
所以f(-1)=12=a-b (3)
由(1)、(2)、(3)式,得:
a=2,b=-10,c=0
f(x)=2x^2-10x
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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