证明下列命题： （1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数； （2）可导的奇函数的导函数是偶函数．

题目

证明下列命题：
（1）若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数；
（2）可导的奇函数的导函数是偶函数．

答案

证明：（1）设f（x）的周期为T，则f（x）=f（x+T）．
∴f′（x）=[f（x+T）]′=f′（x+T）•（x+T）′
=f′（x+T），即f′（x）为周期函数且周期与f（x）的周期相同．…（5分）
（2）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∴[f（-x）]′=[-f（x）]′．
∴f′（-x）•（-x）′=-f′（x）．
∴f′（-x）=f′（x），即f′（x）为偶函数        …（10分）