已知一个1000位正整数的任意连续10个数码形成的10位数2^10的倍数.证明它为2^1000的倍数.

题目

已知一个1000位正整数的任意连续10个数码形成的10位数2^10的倍数.证明它为2^1000的倍数.
9月16日之前

答案

设该正整数x=a1a2a3.a1000其中ai是十进位数码
.由条件可知2^10整除a991.a1000
2^10整除a990.a999
因此2^10整除a990.a999乘10
记y=a991.a1000则有
2^10整除a990乘10^10+10y
故2^10整除10y
结合2^10整除a991.a1000可知
2^10整除10y+a1000
於是2^10整除a1000
这要求a1000=0
类似的 朝前倒推可得
a11=.a1000=0
即x=a1.a10乘10^990
再结合条件2^10整除a1.a10
可得a11=.=a1000=0
即可的2^1000整除x