平面向量问题

题目

平面向量问题
三角形OAB,BN与OM交于点P,M在AB上,N在OA上.OA=a,OB=b设AM=2MB,ON=3NA而OM 与BN交于点P,试用a、b表示向量OP

答案

向量BP与向量BN共线,
所以向量BP=mBN(m是唯一确定的实数)
=m(ON-OB)
=m(3/4OA-OB)
=3m/4 OA-mOB.
所以向量OP=OB+BP
= OB+3m/4 OA-mOB
=3m/4 OA+(1-m)OB.
向量OP与向量OM共线,
所以向量OP=nOM(n是唯一确定的实数)
=n(OA+AM)
=n(OA+1/3AB)
= n[OA+1/3(OB-OA)]
=2n/3 OA+ n /3 OB.
∴向量OP=3m/4 OA+(1-m)OB=2n/3 OA+ n /3 OB.
所以3m/4=2n/3,1-m= n /3,
解得m=8/11,n=9/11.
从而OP=3m/4 OA+(1-m)OB=6/11 OA+3/11 OB.