如图,已知三角形ABC是边长为6cm的等边三角形

题目

如图,已知三角形ABC是边长为6cm的等边三角形

答案

（1）△BPQ是等边三角形
当t=2时
AP=2×1=2,BQ=2×2=4
∴BP=AB-AP=6-2=4
∴BQ=BP
又∵∠B=60°
∴△BPQ是等边三角形；
（2）过Q作QE⊥AB,垂足为E
由QB=2t,得QE=2t?sin60°=根号3 t
由AP=t,得PB=6-t
∴S△BPQ= 1/2×BP×QE= 1/2（6-t）×根号3 t=-根号3/2 t+3根号3t；
（3）∵QR∥BA
∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°
又∵∠C=60°
∴△QRC是等边三角形
∴QR=RC=QC=6-2t
∵BE=BQ?cos60°= 1/2×2t=t
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t
∴EP∥QR,EP=QR
∴四边形EPRQ是平行四边形
∴PR=EQ= 根号3t
又∵∠PEQ=90°,∴∠APR=∠PRQ=90°
∵△APR∽△PRQ,∴∠QPR=∠A=60°
∴tan60°=QR/PR
即 6-2t/根号3t=根号3
解得t= 6/5
∴当t=6/5 时,△APR∽△PRQ．‍